Наиболее полное описание известно для абелевой группы с конечным числом образующих. Его дает основная теорема об абелевых группах с конечным числом образующих: всякая конечно порожденная абелева группа разлагается в прямую сумму конечного числа неразложимых циклических подгрупп, из которых часть – конечные примарные, часть – бесконечные. В частности, конечная абелева группа разложима в прямую сумму примарных циклических групп. Такое разложение, вообще говоря, не единственно, но любые два разложения абелевой группы с конечным числом образующих в прямую сумму неразложимых циклических групп изоморфны между собой и, таким образом, число бесконечных циклических слагаемых и совокупность порядков примарных циклических слагаемых не зависят от выбора разложения. Эти числа, называются инвариантами конечнопорожденной абелевой группы, они являются полной системой инвариантов в том смысле, что всякие две группы, у которых эти инварианты совпадают, изоморфны. Всякая подгруппа абелевой группы с конечным числом образующих сама обладает конечной системой образующих.

     Не всякая абелева группа представима в виде прямой суммы (даже бесконечного числа) циклических групп. Для примарных абелевых групп имеется необходимое и достаточное условие существования такого разложения – критерий Куликова. Пусть A - примарная абелева группа по некоторому простому p. Ненулевой элемент a группы А называется элементом бесконечной высоты в А, если для любого целого k уравнение p^k = a разрешимо в А, и элементом высоты n, если это уравнение разрешимо лишь для k <= n. Критерий Куликова: примарная абелева группа разложима в прямую сумму циклических групп тогда и только тогда, когда она есть объединение возрастающей последовательности своих подгрупп, у каждой из которых высоты элементов ограничены в совокупности. Любая подгруппа абелевой группы, разложимой в прямую сумму циклических подгрупп, сама разложима в прямую сумму циклических подгрупп. Неразложимые (в прямую сумму) примарные группы исчерпываются циклическими примарными группами и группами .

<< Назад Далее >>