Конечное множество элементов g₁, …, g_k абелевой группы называется линейно зависимым, если существуют такие целые числа n₁, …, n_k, не все равные нулю, что . Если же таких чисел не существует, то это множество называется линейно независимым. Произвольная система элементов в абелевой группе называется линейно зависимой, если линейно зависима некоторая конечная ее подсистема. Абелева группа, не являющаяся периодической, обладает максимальными линейно независимыми системами. Мощности всех максимальных линейно независимых подсистем одинаковы и называются рангом (Прюфера) данной абелевой группы. Ранг периодической группы считается равным нулю. Ранг свободной абелевой группы совпадает с мощностью системы ее свободных образующих.

     Всякая абелева группа без кручения ранга I изоморфна некоторой подгруппе аддитивной группы рациональных чисел. Существует полное описание таких групп на языке типов. Всякому элементы абелевой группы без кручения ставится в соответствие его характеристика – счетная последовательность, состоящая из неотрицательных чисел и символа бесконечности. Эти последовательности строятся следующим образом. Все простые числа нумеруются в порядке возрастания p₁, p₂, …, p_k, …, и элементу a сопоставляется последовательность, на k-м месте которой

<< Назад